Formel Disiplinlerde Apriori Problemine Örnek: Matematik
Ön-bilgi: İsbatlama ve Kanıtlama
Bu başlık ilk önce yadırgatıcı olabilir. Çünkü, bugün bu iki deyim birbiriyle eşanlamlı (sinonim) olarak kullanılmaktadır ve dahi, 'isbatlama', Arapça kökenlidir denerek atılmak istenmektedir. Günlük dilde dogru olabilmekle birlikte ilmî noktai nazardan yanlış oldugu kanaatında oldugumuz bu durumu önlemek, daha dogrusu her ikisini birden ve fakat ayrı-ayrı mânâlar yükleyerek kullanmak gerekecektir. Bu, aynı zamanda, dilimizin ifade kaabiliyet ve kudretinin artışına da bir nebze olsun yardımcı olacaktır.
Burada uzun tartışmalara girmekten imtina ederek şunu ileri sürmek istemekteyiz: İsbatlamak, bizim burada yaptıgımız yeni formatlamaya göre, kesin dogru, tartışılması, şüphe duyulması imkânı olmayan hakikatın bilgisini vermek, onu bulmak, elde etmek demektir. Kanıtlamak ise, eldeki verilere. delillere, kanıtlara göre davranarak, bir konuda mümkün-mertebe saglam bilgi elde etmek, ortaya koymaktır. Kanıtlar degişebilecegi için kanıtlama yoluyla elde edilen bilgi zamanla degişebilir. Şu halde kanıtlanmış bilginin bir stabilitesi yoktur; o, kanıtların bir fonksiyonu olmak; onlara baglı kalmak zorundadır. Bunun içindir ki, kanıtlama ile elde edilen bilgi kesin, tümel, genel-geçerli, zorunlu ve stabil (kararlı) degildir. Halbuki isbatlama suretiyla elde edilen bilgi, kesin, tümel, genel-geçerli, zorunlu ve stabildir.
Fakat buradan kalkarak isbatlamada hiç bir kanıtın bulunmadığı sanılmamalıdır. Onda da kanıt (delil) vardır ve fakat onun kanıtları da, daha önce de "isbat edilmiş olan" isbat materyalleridir; yani isbatlamanın kanıtları da kesin doğrudur.
İmdi, bu açıklamaların ışığı altında şunun sorulması kaçınılmaz olmaktadır: Hangi bilim kanıtlar, hangi bilim isbatlar?
Buna verilecek cevap çok sade ve nettir: İspat etmek, yalnız ve yalnız, sırf ve ancak, matematiğin (ve varsa tamamen matematiğin metodunu kullanan bilimlerin) tekelindedir. Başka hiç bir bilim, ne tarih, ne sosyoloji, ne psikoloji, ne kimya ve ne de fızik hiç bir zaman 'ispatlamak' kudretine sahip değillerdir ve olmazlar, olamazlar da! Onlar ancak ve yalnız, 'kanıtlayabilirler'. Yani bu sayılan bilimlerin hiçbirisi bize, asla ve kat'a değişmeyecek olan, her türlü şüpheden arındırılmış, arı-duru. her devirde ve her yerde genel-geçerli kesin doğru, kesin sağlam bilgiler veremez.
Günümüzde teknolojinin harikulade ilerlemiş olması, insanın bir yandan denizlerin ve karaların derinliklerine, fezanın ürkütücü boşluklarına dalması, büyük mesafelerin bir anda küçülmesi vb. gibi sınaî ve teknolojik sahada dev adımların atılmış olması karşısında teknoloji ve teknik bilimlere karşı adeta bir medyunluk doğurmakta, bu, aşırı, bir hayranlık hissi ile, adetâ teknolojiye tapınma şeklinde sonuçlanmakta olduğundan, böyle bir iddia, çok çarpıcı ve abes gelebilir ve hemen bir isyan ile, bu iddia reddedilmeye gidebilir. Halbuki bu iddianın arka planı ortaya atıdığında iddianın ne kadar sağlam temellere oturtulmuş olduğu görülebilecektir.
Bu pek cür'etli iddianın tam olarak açıklanabilmesi için, tamamiyle ve sâfi aksiyomatik/ampriorik bir dev ilme küçücük bir azar atfedilmesi gerekecektir: Matematik.
Matematik
Bütün insanlık tarihi boyunca, hiç bir ilim gösterilemez ki doğruluğu hakkında hiçbir kimse tarafından bir itiraz ileri sürülmesin, herkes tarafından ama istisnasız herkes tarafından "evet, bu ilim ne demişse muhakkak doğrudur' denerek tam ve eksiksiz bir mutabakat sağlanmış olsun, onun hakkında hiçbir şüphe doğmamış olsun; evet böyle bir ilim yoktur, bir istisna ile: Matematik!
Matematiğin bu özelliği artık bir "hassa"dır; Sadece ona mahsustur. Ne demektir bilginin 'kesin doğru' olması, hiç bir yanlışı olmayan, her hükmü mutlaka ama mutlaka doğru olan bir ilim nasıl mümkündür? Çok karışık ve karanlık gibi görünen bu soruların cevapları, hakikatte. matematiğin kendisi kadar açık ve nettir: "Matematik isbatlı bir bilimdir"
İsbat, İsbat Zinciri ve Aksiyom
Evet, matematik isbatlı bir bilimdir. Yani matematik, bütün önermelerini "sübuta erdirir", onları kesin ve aydınlık bir halde ortaya kor: sabitleştirir, kımıldamaz, yerinden oynatılmaz bir hale getirir; isbatın anlamı budur. Bu, nasıl olmaktadır, veya nasıl mümkündür? İşte, "isbat zinciri" denen şey burada ortaya çıkar. İsbat edilmiş olan bir önerme "Teorem" adını alır. Bir teoremin isbatının altında uzun bir isbat zinciri, bir isbat silsilesi vardır.
Bir Teoremin İsbat Prosedürü: Her teoremin bir Hipotez'i ve bir de Hükm'ü vardır. Hükmün doğruluğu için şart koşulan şey hipotez olarak adlandırılır. Hüküm isbat edildiğinde teorem isbat edilmiş olur. Hüküm. teoremin isbat etmek istediği şeydir.
Hükmün doğru olduğunun isbatlanabilmesi için hipotei i kullanıyorduk. Bu hipotez/ veya hipotezler/ ise, daha evvelce doğruluğu isbatlan- mış olan teoremlerdir. Yani her isbatlanmış olan teorem. bir başka teoreınin isbatında "isbat materyali" (isbat malzemesi, isbat dayanağı) olarak kullanılır. Fakat şurası gayet açık bir husustur ki biz bütün teoremlerimizi bu şekilde geriye doğru giderek, daha evvelce isbatlanmış bir başka teorem/ veya teoremlere dayandırdığımız sürece, geriye gide-gide nihayet öyle bir noktaya varırız ki artık isbat edilmiş hiç bir hüküm elimizde kalmayacaktır. Bunu şekil 1'de temsil edelim:
İsbat zinciri:
t1...t2...t3...t4.............tn şekil:1.1
a1, a2, a3, a4, a5 ,t1,..t2,..t3,...tn şekil:1.2
Şekil 1.1'i göz önüne alacak olursak, burada temsil edilen şey şudur: tn teoremini isbat etmek için ondan daha önce isbat edilmiş olan tn-1 teoremini bir hipotez olarak kullanırız; tn-1 teoremini isbat etmek için bu defa tn-2 teoremini kullanırız, vb.... nihayet 2. teorem olan t2'yi de t1'e istinad ederek isbat ettikten sonra, şekilden de görüleceği gibi, t1 teoremini isbat etmek için kendisini bir materyal olarak kullanabileceğimiz bir teorem, yani isbat edilmiş bir hüküm bulamamaktayız. Şimdi şöyle sorulabilir: t1 teoremi bu, halde isbat edilmiş midir, edilmişse neye müsteniden edilmiştir? Buna şöyle cevap verilir: t1 teoremi isbat edilmiştir, zira esasen isbat edilmemiş olsa idi ona teorem diyemezdik. İsbat edildiğine göre, o da bir isbat materyaline dayandırılmıştır: fakat açıkça da görülüyor ki ondan önce isbat edilmiş bir başka teorem yok, yani 'sırtımız duvara dayanmış bulunmaktadır. O halde, onun (t1'in) isbat edilmesinde kullanılan isbat materyali, "isbat edilmemiş" bir isbat materyali olmak zorundadır. İşte buna biz, "aksiyom" adını veriyoruz. O halde demek ki işbu aksiyom denen şey her ne ise o derece sağlam bir şey olmalıdır ki isbat edilmiş bir hüküm kadar genel-geçer, şeksiz-şüphesiz bir bilgi olmalı. Bu, daha önce sözünü etmiş olduğumuz "sağlam çıkış noktası"ndan başkası değildir: Bütün binanın sağlamlığı, onun orijininin sağlamlığına tâbî olmaktadır. Tıpkı, şunun gibi: Bir zincirin sağlamlığı en zayıf halkasının sağlamlığına eşittir. Bütün halkaları sapa-sağlam olan isbat zincirinin en temelindeki halka, bu zincirin sağlamlığının en esaslı kriteri olacaktır. Bu durum şekil 1.2'de temsil edilmiştir. an notasyonu ile gösterilen a1, a2...... aksiyomları bütün isbat zincirinin temelini oluşturmaktadır ki tüm tn teoremleri bunun üstünde oturmaktadır.
Bu isbat zincirindeki her bir teorem, yani isbat materyali bir kanıt'tır: İsbat edilmiş, doğruluğu sübuta ermiş, Ayan-beyân olmuş birer kanıt. Fakat, bütün bu "isbat edilmiş kanıtlar" ise, "isbat edilmemiş bazı temel kanıtlar"ın üzerine oturtulmuştur. Acaba, bütün isbat zincirinin yükünü taşıyan bu isbat edilmemiş kanıtların yani aksiyomların, isbat edilmediği ve de hattâ açıkça görüldüğü gibi isbat edilemediği halde, sağlamlıklarına, nasıl olur da bu derece güvenilebilir ve kendimize temel olarak alabiliriz.
Bunun cevabı gayet açık ve nettir: Aksiyom denen bu kanıtlar o derece sağlam, o derece güvenilir ki onların esasen isbat edilmeye ihtiyacı yoktur. Onları biz "isbat etmeksizin", oldukları gibi, açık-seçik, ayanbeyan ve net olarak "görüyoruz" Yani onları dolaysız, doğrudan-doğruya görmüş oluyoruz. Söz gelimi, Düzlemsel Euclides Geometrisi'nin bir aksiyomu olan, "düzlemde alınan bir doğrunun iki tarafından bulunan iki nokta her ne suretle birleştirilirse birleştirilsin, bu doğruyu en az bir yerinden keserler" aksiyomu, ne başka bir şeye dayanılarak isbat edilebilir ve ne de doğruluğu reddedilebilir. (Şekil: 2)
Şu halde, aksiyomların özellikleri (hassaları) şöyle özetlenebilir:79
a) Aksiyom, başka bir şeye dayanılarak isbat edilemez.
b) Aksiyom, doğruluğu açık-seçik olarak görülen şeydir.
c) Aksiyomlar, birbiriyle çelişmezler; aksi halde, birbiriyle uymayan iki temel doğru elde etmiş oluruz: mantığın çelişmezlik prensibine göre, bunların ikisi birden doğru olamayacağı için birisi doğru birisi yanlış olmalıdır, halbuki beri yandan aksiyom yanlış olamaz, o halde, aksiyomlar birbirleriyle çelişemezler.
a ve b şıklarının anlaşılması çok açıktır: aksiyom başka bir şeye dayanılarak isbat edilebilse idi ona teorem derdik.
Yine, aksiyomun doğruluğunu açık-seçik olarak görmek, onun doğruluğunu bir mantıkî zarûret olarak "peşinen tasdik etmek" demektir. Onlar, keytî olarak seçilemezler; onların doğrulukları. "ayan-beyan, doğrudan, dolaysız görünen mantıkî zorunluluklardır".
